费马点定理的证明与补充
定理的证明
定理推广
费马点结论
以下内容可以不看，因为本人第一次头条发文章，数学类文章，公式经常被系统识别为图片，实在难以编辑，故把自己word里复制在下面，跟上文完全相同----------------------------------------.
费马点定理的证明与补充
1.三角形三个内角均小于120°的情况：
·费马点定理 ：如果在△ABC 内角均小于120°，P 为平面内任意一点，若点O 对于三边的张角都是120°，则≤（仅当O 、P 重合时取等号）
证明：过A 、B 、C 分别作OA 、OB 、OC 的垂线，设交于、、，如图所示，则O 、B 、C 、四点共圆，由∠BOC =120°，则∠.
同理∠，故△为正三角形.
设其边长为，则
（因为斜线段大于垂线段）
∴≤.
2.三角形某内角≥120°的情况：
推论： 若△中∠≥120°，为平面内任意一点，则≤（只有当、重合时取等于号）.
证明：（1）当∠120°时，在△ABC 外做∠,连接、，如右图所示，由费马点定理可得
即.
（2）当∠＞120°时，在∠内做∠，交于，连接，如右图所示，由（1）有结论：
又,
两不等式左右 分别相加得：
.
综上所述：若△中∠≥120°，则点为费马点，若内角都小于120°，则三角形内部与三边张角均为120°的点为费马点.
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